Conseils utiles

Tour de carte mathématique

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Un des récits de Somerset Maugham a ce dialogue:

- Aimez-vous les tours de cartes?

- Je ne peux pas le supporter.

"Ensuite, je vais vous montrer un tour."

Après le troisième tour, la victime s'échappe sous un prétexte. Cette réaction est facile à comprendre. La plupart des tours de cartes, s'ils ne sont pas montrés par un professionnel qualifié, mais par un amateur, sont insupportablement ennuyeux. Mais il existe d'autres tours de cartes qui n'exigent aucune dextérité manuelle à afficher. Ils présentent un intérêt du point de vue des mathématiques.

Considérons, par exemple, le focus suivant. Le spectateur et le magicien sont assis à la table l'un contre l'autre. Le magicien prend un jeu de cartes face cachée et, en retournant vingt cartes face cachée, le passe au spectateur. Le spectateur mélange soigneusement le jeu et les cartes inversées sont distribuées au hasard. En tenant le jeu sous la table de sorte que ni lui ni le magicien ne puissent voir les cartes, le spectateur compte les vingt cartes du dessus et, sans sortir de la table, passe au magicien.

Le magicien prend la pile, mais continue de la tenir sous la table pour ne pas voir les cartes. "Ni vous ni moi ne savons," dit-il, "combien de cartes inversées figurent parmi les 20 que vous m'avez données. Cependant, il me semble qu'elles sont moins nombreuses que parmi les 32 qui vous sont restées. Sans regarder les cartes, Je vais remettre quelques cartes supplémentaires à ma place et essayer d’égaliser le nombre de cartes retournées dans ma partie du jeu et dans la vôtre. "

Le magicien joue avec les cartes pendant un moment, faisant semblant d'essayer de toucher les cartes des côtés supérieur et inférieur. Puis il tire ses cartes, les pose sur la table et raconte celles qui sont inversées. Ce sont exactement les mêmes que parmi les 32 cartes qui sont entre les mains du spectateur!

Cette astuce merveilleuse s’explique mieux par l’exemple de l’un des plus vieux casse-tête mathématiques. Imaginez qu'il y ait deux navires devant vous: un litre d'eau est versé dans l'un d'eux et un litre de vin dans l'autre. Un centimètre cube d'eau prélevé dans le premier récipient est versé dans un récipient avec du vin et bien mélangé. Ensuite, ils prennent un centimètre cube du mélange et le remettent dans le récipient avec de l'eau. Quoi de plus maintenant: l'eau dans le vin ou le vin dans l'eau? (Nous négligeons le fait qu'habituellement un mélange d'eau et d'alcool occupe un volume inférieur à la somme des volumes d'alcool et d'eau avant le mélange.)

La réponse est: il y a exactement autant de vin dans l'eau que d'eau dans le vin. Il est amusant que cette tâche contienne trop d’informations non pertinentes. Il est totalement redondant de savoir combien de liquide il y a dans chaque vaisseau, combien il est versé et combien de fois la transfusion est répétée. Peu importe que les liquides soient bien mélangés. Il est même indifférent que la quantité de liquide dans les vaisseaux soit la même avant la transfusion. La seule condition vraiment importante est que chaque vaisseau à la fin de toutes les transfusions contienne exactement la même quantité de liquide qu’au début. Cette condition signifie que peu importe la quantité de vin que nous prenons d'un bateau avec vin, nous devrons certainement reconstituer le déficit qui en résulte avec la même quantité d'eau *.

* (On peut dire ceci: le manque de vin dans un récipient avec du vin est égal à la quantité de vin dans un récipient avec de l'eau .- Note ed.)

Si le lecteur estime que le raisonnement ci-dessus est incompréhensible, il pourra le comprendre avec un jeu de cartes. Supposons que 26 cartes, rangées sur la table avec la chemise en haut, représentent le vin, et 26 cartes, rangées avec des images, de l’eau. Peu importe le nombre de cartes que vous transférez d’une rangée à l’autre, si à la fin il y a 26 cartes dans chaque rangée, le nombre de cartes cachées dans une rangée coïncidera exactement avec le nombre de cartes de l’autre rangée renversées.

Maintenant, nous prenons un stoïque de 32 cartes retournées et une pile de 20 cartes inversées et nous transférerons les cartes d’une pile à l’autre à n’importe quel moment, en nous assurant qu’il y a 20 cartes dans la pile la plus petite en permanence. En tournant la pile la plus petite, vous fermez les cartes ouvertes et, inversement, ouvrez les cartes précédemment fermées. Par conséquent, après avoir retourné dans les deux piles de cartes ouvertes seront divisés en parts égales.

Maintenant, il est probablement clair pour tout le monde comment se passe le tour avec les cartes. Tout d'abord, le magicien retourne exactement 20 cartes. Lorsqu'il reçoit une pile de 20 cartes du spectateur, le nombre de cartes non retournées est égal au nombre de cartes retournées dans le reste du paquet. Puis, prétendant remettre de nouvelles cartes, le magicien retourne toute la pile de 20 cartes qu’il a reçues. En conséquence, dans cette pile, il y a autant de cartes inversées qu'il en reste 32 au lecteur. Cet objectif est particulièrement surprenant pour les mathématiciens, raison pour laquelle ils proposent des explications très complexes.

De nombreuses astuces pour deviner le nombre de cartes sont basées sur des principes mathématiques élémentaires. Voici l'une des meilleures astuces de ce type. En tournant le dos au public, demandez à une personne présente de prendre dans le jeu un nombre quelconque de cartes de 1 à 12 et, sans indiquer le nombre de cartes sélectionnées, cachez-les dans votre poche. Ensuite, votre assistant doit compter exactement le nombre de cartes qu'il a déjà cachées dans sa poche depuis le haut du paquet et se souvenir de la carte suivante comptée pour la dernière fois.

Lorsque tout cela est fait, vous vous tournez pour faire face au public et demandez à nommer le nom de famille et le prénom de quelqu'un, dans lequel il y aurait au moins 13 lettres. Supposons, par exemple, quelqu'un appelé Benvenuto Cellini. Tenant un jeu de cartes dans vos mains, vous vous adressez au spectateur dans la poche duquel se cachent les cartes qu'il a sélectionnées, et dites qu'il devrait, en nommant chaque lettre du nom et du prénom de Benvenuto Cellini, poser une carte sur la table. En montrant comment faire cela, vous retirez une carte de votre deck et, en parlant chaque lettre à voix haute, vous placez les cartes face cachée sur la table. Ensuite, vous collectez ces cartes et les mettez au-dessus des cartes restantes dans le paquet.

Vous donnez tout le jeu au spectateur et lui demandez de mettre les cartes qui se trouvent dessus. lui dans sa poche, sur le dessus. N'oubliez pas de souligner que vous ne savez pas combien de cartes sont stockées dans sa poche. Et pourtant, malgré l'ajout d'un nombre inconnu de cartes au jeu, une fois que le spectateur a épousé «Benvenuto Cellini» et fait tout ce dont vous avez parlé, la carte du dessus du jeu sera celle qu'il visait!

Il est facile de comprendre quel est le problème ici. Soit x le nombre de cartes dans la poche du spectateur et, par conséquent, le nombre de cartes se trouvant dans le paquet au-dessus de la carte conçue par lui, et y le nombre de lettres du nom et du nom de famille de la personne nommée par le public. En montrant comment épeler le nom et le prénom, vous inversez l’ordre des cartes, ce qui fait que la "profondeur" de la carte repérée devient y - x. L'ajout de x cartes dans le paquet donne lieu au fait que la carte conçue se trouve à la (y - x + x) ème place, en comptant par le haut. Les valeurs x et -x sont détruites et la carte conçue, après avoir été nommée en lettres, sera au-dessus.

Sur une utilisation plus subtile du fait que les résultats de manipulations individuelles avec des cartes peuvent s'annuler, le focus suivant est basé. Le spectateur sélectionne trois cartes et les met fermées sur la table, sans montrer le magicien. Les cartes restantes, soigneusement mélangées, le spectateur retourne au magicien. "Toutes les cartes du jeu resteront à leur place, explique le magicien. Je ne retirerai qu'une carte du jeu. Elle correspondra à la couleur et à la valeur de celle que vous choisissez maintenant." Avec ces mots, il tire une carte du jeu et, sans l'ouvrir, la met de côté.

Les cartes restantes sont remises au spectateur et lui demandent d'ouvrir les trois cartes qu'il avait précédemment disposées sur la table. Supposons qu'il s'agisse d'un neuf, d'une reine et d'un as. Sur chacune des cartes ouvertes, le spectateur pose les cartes faces cachées du jeu, en comptant à voix haute. Posant les cartes sur les neuf, il compte entre 10 et 15 (c'est-à-dire qu'il en sort six au total). La reine a une valeur de 12 (valet - 11, roi - 13); par conséquent, en posant les cartes sur elle, le score doit commencer à 12 heures. Le score se terminant toujours à 15, la reine sera fermée avec trois cartes. En plus de l'as (valeur - 1), vous devez disposer de 14 cartes.

Une fois que le nombre requis de cartes est établi, le magicien demande au spectateur d’ajouter les valeurs des trois cartes inférieures (ouvertes) et de trouver dans le paquet une carte dont le nombre coïncide avec le montant reçu. Dans le présent exemple, ce montant est de 22 (9 + 12 + 1), de sorte que le spectateur tire une carte de vingt-deux secondes. Enfin, le magicien ouvre la carte, qui a été retardée au tout début du focus. Les deux cartes - juste dessinées par le spectateur et réservées par un magicien il y a longtemps - correspondent à la fois en valeur et en couleur!

Comment se passe cette astuce? Lors du choix de sa carte, le magicien doit espionner la couleur et la signification de la quatrième carte d'en bas et mettre de côté une carte qui correspond à sa couleur et à sa valeur. Le reste est obtenu automatiquement. (Parfois, cette carte fait partie des trois cartes du bas du jeu. Dès que le spectateur a fini de compter les cartes, n'oubliez pas de lui demander d'ouvrir la carte suivante.) Je laisse au lecteur le soin de réaliser une simple preuve algébrique indiquant que le focus doit toujours être obtenu sans ratés.

La simplicité avec laquelle les cartes sont mélangées les rend très pratiques pour démontrer un certain nombre de théorèmes probabilistes, dont beaucoup sont assez surprenants et méritent d'être appelés des tours. Imaginons, par exemple, que chacune des deux personnes possède un jeu de 52 cartes. L'un d'eux considère à haute voix de 1 à 52. Sur chaque compte, tous les deux mettent une carte face cachée sur la table. Quelle est la probabilité qu’à un moment donné deux cartes identiques soient posées simultanément sur la table?

Beaucoup pensent probablement que cette probabilité est faible, mais en réalité elle est supérieure à 1 /2! Probabilité divergences égal à 1 divisé par le nombre transcendantal e. (Ce n'est pas tout à fait vrai, mais l'erreur est inférieure à 1 /10 69 .) Puisque le nombre e est 2.718. la probabilité de coïncidence est d'environ 17 /27, ou presque 2 /3. Si quelqu'un veut parier qu'il n'y aura pas de match, vous avez de bonnes chances de gagner un pari. Il est intéressant de noter que, en disposant les cartes de deux jeux de cartes, nous obtenons une méthode empirique pour trouver l’extension décimale du nombre e, similaire à celle trouvée en jetant l’aiguille de Buffon. Plus on prend de cartes, plus on se rapproche de 1 /e il y aura une chance d'un décalage.

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